Fermat and Pythagoras Divisors for a New Explicit Proof of Fermat’s Theorem: a 4 + b 4 = c 4 . Part I
- 1 Laboratoire d’Informatique et de Mathématiques appliquées, Institut Polytechnique Félix Houphouët BOIGNY, Yamoussoukro, Cote d’Ivoire
- 2 UFR Mathématiques et Informatique, Université Félix Houphouet BOIGNY, Abidjan, Cote d’Ivoire
- 3 UFR Sciences Fondamentales Appliquées, Université NANGUI ABROGOUA, Abidjan, Cote d’Ivoire
Abstract
In this paper we prove in a new way, the well known result, that Fermat’s equation<i> </i><i>a</i><sup>4</sup> + <i>b</i><sup>4</sup> = <i>c</i><sup>4</sup>, is not solvable in <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi>ℕ</mi> </math> , when <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mi>a</mi><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn></mrow> </math> . To show this result, it suffices to prove that: <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>:</mo><msubsup> <mi>a</mi> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </msubsup> <mo>+</mo><msup> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mi>s</mi> </msup> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow></mrow> <mn>4</mn> </msup> <mo>=</mo><msubsup> <mi>c</mi> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </msubsup> </mrow> </math> , is not solvable in <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi>ℕ</mi> </math> , (where <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>,</mn><msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>,</mn><msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>∈</mo><mn>2</mn><mi>ℕ</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow> </math> , pairwise primes, with necessarly <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mn>2</mn><mo>≤</mo><mi>s</mi><mo>∈</mo><mi>ℕ</mi></mrow> </math> ). The key idea of our proof is to show that if (<i>F</i><sub>0</sub>) holds, then there exist <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>,</mn><msub> <mi>β</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>,</mn><msub> <mi>γ</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>∈</mo><mn>2</mn><mi>ℕ</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow> </math> , such that <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>:</mo><msubsup> <mi>α</mi> <mn>2</mn> <mn>4</mn> </msubsup> <mo>+</mo><msup> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>s</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow> </msup> <msub> <mi>β</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow></mrow> <mn>4</mn> </msup> <mo>=</mo><msubsup> <mi>γ</mi> <mn>2</mn> <mn>4</mn> </msubsup> </mrow> </math> , holds too. From where, one conclude that it is not possible, because if we choose the quantity 2 ≤ <i>s</i>, as minimal in value among all the solutions of <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow></mrow> </math> , then <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mn>2</mn> </msub> <msup> <mrow> <mn>,2</mn></mrow> <mrow> <mi>s</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow> </msup> <msub> <mi>β</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>,</mn><msub> <mi>γ</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow></mrow> </math> is also a solution of Fermat’s type, but with <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mn>2</mn><mo>≤</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo><</mo><mi>s</mi></mrow> </math> , witch is absurd. To reach such a result, we suppose first that (<i>F</i><sub>0</sub>) is solvable in <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <msup> <mrow> <mn>,2</mn></mrow> <mi>s</mi> </msup> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>,</mn><msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow></mrow> </math> , <i>s</i> ≥ 2 like above; afterwards, proceeding with “Pythagorician divisors”, we creat the notions of “Fermat’s <i>b</i>-absolute divisors”: <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>b</mi> </msub> <mn>,</mn><msub> <msup> <mi>d</mi> <mo>′</mo> </msup> <mi>b</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow></mrow> </math> which it uses hereafter. Then to conclude our proof, we establish the following main theorem: there is an equivalence between (i) and (ii): (i) (<i>F</i><sub>0</sub>): <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </msubsup> <mo>+</mo><msup> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mi>s</mi> </msup> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow></mrow> <mn>4</mn> </msup> <mo>=</mo><msubsup> <mi>c</mi> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </msubsup> </mrow> </math> , is solvable in <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi>ℕ</mi> </math> , with <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mn>2</mn><mo>≤</mo><mi>s</mi><mo>∈</mo><mi>ℕ</mi></mrow> </math> , <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>,</mn><msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>,</mn><msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>∈</mo><msup> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn><mi>ℕ</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow> <mo>)</mo></mrow></mrow> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </math> , coprime in pairs. (ii) <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mo>∃</mo><mrow><mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>,</mn><msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>,</mn><msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>∈</mo><msup> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn><mi>ℕ</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow> <mo>)</mo></mrow></mrow> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </math> , coprime in pairs, for wich: <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mo>∃</mo><mrow><mo>(</mo> <mrow> <msub> <msup> <mi>b</mi> <mo>′</mo> </msup> <mn>2</mn> </msub> <mn>,</mn><msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>,</mn><msub> <msup> <mi>b</mi> <mo>″</mo> </msup> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>∈</mo><msup> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn><mi>ℕ</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow> <mo>)</mo></mrow></mrow> <mn>3</mn> </msup> </mrow> </math> coprime in pairs, and <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mn>2</mn><mo>≤</mo><mi>s</mi><mo>∈</mo><mi>ℕ</mi></mrow> </math> , checking <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo><msub> <msup> <mi>b</mi> <mo>′</mo> </msup> <mn>2</mn> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <msub> <msup> <mi>b</mi> <mo>″</mo> </msup> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </math> , and such that for notations: <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mi>S</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>λ</mi><mrow><mo>(</mo> <mrow> <mi>s</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow> <mo>)</mo></mrow></mrow> </math> , with <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mi>λ</mi><mo>∈</mo><mrow><mo>{</mo> <mrow> <mn>0,1</mn></mrow> <mo>}</mo></mrow></mrow> </math> defined by <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>−</mo><msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>≡</mo><mi>λ</mi><mrow><mo>(</mo> <mrow> <mi>mod</mi><mn>2</mn></mrow> <mo>)</mo></mrow></mrow> </math> , <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>b</mi> </msub> <mo>=</mo><mi>g</mi><mi>c</mi><mi>d</mi><mrow><mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mi>s</mi> </msup> <msub> <mi>b</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo><msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>−</mo><msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msup> <mn>2</mn> <mi>S</mi> </msup> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> </math> and <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <msub> <msup> <mi>d</mi> <mo>′</mo> </msup> <mi>b</mi> </msub> <mo>=</mo><msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>s</mi><mo>−</mo><mi>S</mi></mrow> </msup> <msub> <msup> <mi>b</mi> <mo>′</mo> </msup> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo><mfrac> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mi>s</mi> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>d</mi> <mi>b</mi> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </math> , where <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <msup> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mi>s</mi> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow></mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo><mi>g</mi><mi>c</mi><mi>d</mi><mrow><mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>b</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo><msubsup> <mi>c</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>−</mo><msubsup> <mi>a</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo></mrow></mrow> </math> , the following system is checked: <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mrow><mo>{</mo> <mtable columnalign='left'> <mtr> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>−</mo><msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo><mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>b</mi> <mn>4</mn> </msubsup> </mrow> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mn>2</mn><mo>+</mo><mi>λ</mi></mrow> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo><msup> <mn>2</mn> <mrow> <mn>2</mn><mo>−</mo><mi>λ</mi></mrow> </msup> <msup> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>S</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow> </msup> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow> <mn>4</mn> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo><msub> <mi>a</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo><msup> <mn>2</mn> <mrow> <mn>1</mn><mo>+</mo><mi>λ</mi></mrow> </msup> <msubsup> <msup> <mi>d</mi> <mo>′</mo> </msup> <mi>b</mi> <mn>4</mn> </msubsup> <mo>=</mo><msup> <mn>2</mn> <mrow> <mn>1</mn><mo>+</mo><mi>λ</mi></mrow> </msup> <msup> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>s</mi><mo>−</mo><mi>S</mi></mrow> </msup> <msub> <msup> <mi>b</mi> <mo>′</mo> </msup> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow> <mn>4</mn> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>c</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo><msubsup> <mi>a</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>=</mo><mn>2</mn><msubsup> <msup> <mi>b</mi> <mo>″</mo> </msup> <mn>2</mn> <mn>4</mn> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow></mrow> </math> ; and this system implies: <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <msup> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mn>1</mn><mo>−</mo><mi>λ</mi><mn>,2</mn></mrow> <mn>4</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo></mrow></mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo><msup> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mn>4</mn><mi>s</mi><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow> </msup> <msubsup> <mi>b</mi> <mrow> <mi>λ</mi><mn>,2</mn></mrow> <mn>4</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo></mrow></mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo><msup> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <msup> <mi>b</mi> <mo>″</mo> </msup> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo></mrow></mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </math> ; where: <math display='inline' xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mn>1</mn><mo>−</mo><mi>λ</mi><mn>,2</mn></mrow> </msub> <mn>,</mn><msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>λ</mi><mn>,2</mn></mrow> </msub> <mn>,</mn><msub> <msup> <mi>b</mi> <mo>″</mo> </msup> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>{</mo> <mrow> <mtable columnalign='left'> <mtr columnalign='left'> <mtd columnalign='left'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msub> <msup> <mi>b</mi> <mo>′</mo> </msup> <mn>2</mn> </msub> <mn>,</mn><msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>,</mn><msub> <msup> <mi>b</mi> <mo>″</mo> </msup> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext>if</mtext><mtext> </mtext><mi>λ</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow> </mtd> </mtr> <mtr columnalign='left'> <mtd columnalign='left'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>,</mn><msub> <msup> <mi>b</mi> <mo>′</mo> </msup> <mn>2</mn> </msub> <mn>,</mn><msub> <msup> <mi>b</mi> <mo>″</mo> </msup> <mn>2</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext>if</mtext><mtext> </mtext><mi>λ</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow> </mtd> </mtr> </mtable></mrow> </mrow></mrow> </math> ; From where, it is quite easy to conclude, following the method explained above, and which thus closes, part I, of this article.
- Diophanti, A. (1670) Arithmeticorum libri sex et de numeris multangulis liber vnus: Cum commentariis C. G. Bacheti. & observationibus de Fermat; accessit doctrinae analyticae inventum novum collectum ex varijs eiusdem de Fermat epistolis; Publisher excudebat Bernardus Bosc, è regione Collegij Societatis Iesu; National Library of Naples. http://books.google.com/books?id=TbE_3aglZl4C&hl=&source=gbs_api
- Euler, L. (1738) Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrations. Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae , 10, 125-146.
- Rimbeboim, P. (1999) Fermat’s Last Theorem for Amateurs. Springer-Verlag New-York Inc, New York.
- Wiles, A. (1995) Modular Elliptic Curves and Fermat’s Last Theorem. Annals of M a thematics , 141, 443-551. https://doi.org/10.2307/2118559
- Ribet, K. (1990) On Modular Representations of Gal(Q=Q) Arising from Modular Forms. Inventiones Mathematicae , 100, 431-476. https://doi.org/10.1007/BF01231195
- Taylor, R. and Wiles, A. (1995) Ring Theoretic Properties of Certain Hecke Algebra. Annals of Mathematics , 141, 553-572. https://doi.org/10.2307/2118560
- Tafelmacher, A. (1893) Sobre la ecuacion x 4 + y 4 = z 4 . Anales De La Universidad De Chile, tomo 84, pp. 307-320. https://anales.uchile.cl/index.php/ANUC/article/view/20645
- Tanoé, F.E. and Kimou, P.K. (2023) Pythagorician Divisors and Applications to Some Diophantine Equations. Advances in Pure Mathematics , 13, 35-70. https://doi.org/10.4236/apm.2023.132003
- Bagnantissoun, E.T. (2018) Théorème de Terjanian: Application aux équations de Fermat. Master Thesis in Mathematic and Applications, Université Félix Houphouët BOIGNY, Côte d’Ivoire.
- Andreescu, T., Andrica, D. and Cucurezeanu, I. (2010) An Introduction to Diophantine Equations. Birkhäuser, Boston. https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4549-6
- Keumean, D.L. (2021) Diviseurs Pythagoriciens appliqués à la résolution du problème de certains nombres congruent. MSc. Thesis, Université Houphouët-Boigny, Abidjan.
- Carmichael, R.D. (1959) The Theory of Numbers and Diophantine Analysis. Dover Publications Inc., New York.
- Rimbeboim, P. (1979) 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem. Springer-Verlag New-York Inc., New York. https://doi.org/10.1007/978-1-4684-9342-9
- Abdelalim, S. and Dyani, H. (2015) Caracterization of the Solution of Diophantine Equation x 2 + y 2 = 2 z 2 . Gulf Journal of Mathematics , 3, 1-4.